fredag 1. mars 2013

Formelsamling på nett

Etterhvert som mer og mer av matematikkundervisningen foregår med pc eller nettbrett lett tilgjengelig, er det kanskje greit å ha en formelsamling der en kan slå opp de vanligste reglene.

Jeg har laget en slik formelsamling rettet mot elever som tar programfag i videregående skole. Forhåpentligvis skal den kunne vises greit på alle de ulike plattformene elever og lærere idag bruker i sin undervisning.

Formelsamlingen finner du her: www.matematikkskolen.no. (Hvis denne koblingen ikke fungerer som den skal kan du bruke www.kalkulus.no/wordpress)

Fordelen med denne formelsamlingen er at alt innholdet ligger umiddelbart tilgjengelig på nettsiden, uten at du må åpne et nytt dokument som f.eks. en PDF-fil. Likevel er matematikken på siden godt lesbar takket være mathjax som jeg har beskrevet tidligere. Med tiden håper jeg å lage mer utfyllende og forklarende innhold, ikke som et selvstendig læreverk, men som et godt supplement og referanse.

Det er sikkert mange ting som kunne vært gjort bedre og annerledes i formelsamlingen. Dessuten kan det forkomme feil eller ting som bør være mer presist formulert. Hvis du har kommentarer, gode forslag eller rett og slett har lyst til å hjelpe meg å forbedre formelsamlingen så vil jeg gjerne høre fra deg.

søndag 3. februar 2013

Arbeidsmiljø, problemløsing og struktur

Dette blogginnlegget skrev jeg (uten å publisere det) for et par år tilbake mens jeg jobbet i videregående. Når jeg leser det nå ser jeg at jeg fremdeles kan stå inne for det som står der. Blant lærerutdannere jeg snakker med, er det ganske stor enighet om at undervisningen i videregående skole ofte er ganske "instrumentell" og fokuserer mer på prosedyriske ferdigheter framfor begrepsmessig forståelse. Min egen undervisning ville kanskje også komme i denne kategorien. Likevel er det ikke sikkert jeg ville gjort ting så veldig annerledes...
 
Arbeidsmiljø, problemløsing og struktur
Hva er det som kjennetegner god matematikkundervisning? Forskning og teori innenfor pedagogikk og matematikkdidaktikk søker på forskjellig vis å belyse dette spørsmålet. Noen prinsipper er jeg glad for å kjenne til, og for å diskutere didaktiske spørsmål kollegialt er det svært nyttig med felles begrepsforståelse. Men når alt kommer til alt er nok kløften mellom lærerhåndverket i praksis og de idealene som framholdes i teorien fremdeles veldig til stede.

For min del er utgangspunktet årslange kurs med elevgrupper på 25-30 elever. I en travel skolehverdag skal de lære seg et matematikkpensum som oppleves som omfattende og vanskelig. Til tross for at det er vår tids stor skoletrend, erkjenner jeg gjerne at jeg ikke er særskilt opptatt av prøver og vurdering. Riktignok har vi et system (som jeg gjerne skriver om ved en senere anldening) for å systematisk gi faglig vurdering og tilbakemelding. Men dette er til dels konstruert for å møte formelle krav til såkalte vurderingssituasjoner, og selvsagt at elevene skal ha en karakter.

I dette blogginnlegget vil jeg gi en slags oppsummering av hva jeg ønsker å fokuserer på i mitt arbeid med elevene.

Arbeidsmiljø
Jeg tror elevene mine vil være enig i at jeg i større grad enn vurdering, vektlegger at det skal være et godt arbeidsmiljø. For å jobbe med matematikk kreves en viss arbeidsro, og videre ønsker jeg at det skal være en stemning og kultur for å jobbe med matematiske problemer. Et godt arbeidsmiljø i matematikk innebærer etter mitt syn en atmosfære der en kan stille spørsmål, undre seg, diskutere - og samtidig holde et akseptabelt lydnivå i et (overfylt) klasserom. Jeg vil anta at det blant elevene mine er dem som er lei av at jeg stadig fokuserer på dette med arbeidsmiljø, men samtidig tror jeg de foretrekker å ha matematikkundervisning der det er arbeidsro og en viss grad av orden. Min erfaring er at dette ikke kommer av seg selv, og at det er en av lærerens viktigste oppgaver å sikre dette.

Problemløsing
Ideelt skulle jeg sett at problemløsing (i den tradisjonen som er beskrevet av Polya, Schoenfeldt mf.) var grunnlaget for en større del av min matematikkundervisning. Mens jeg føler vi lykkes med å skape gode arbeidsmiljø, føler jeg at vi har lang vei å gå i forhold til å vri undervisningensformen mot en mer problemløsende type. De to viktigste årsakene til dette er de formelle kravene til progresjon, vurderingssituasjoner, karakterer og eksamen, og at elevene normalt er vant til å jobbe på en tradisjonell måte. De årene det ikke var eksamen i faget 1T lyktes vi for øvrig ganske godt med et problemløsingsprosjekt mot slutten av skoleåret. Dette tror jeg elevene drar nytte av idag, ett og to år senere (flesteparten tar nå S1, S2, R1 eller R2).

Struktur
For elever som skal ta et matematikkfag i videregående skole er det et endelig antall timer undervisning, og det er en øvre grense for hvor mye tid det kan forventes at elevene skal jobbe med faget utenom undervisningen. Vi som har lært oss en del matematikk, og som nå underviser faget, er vel ganske trygge på at det er kontinuerlig arbeid over tid som gir resultater (skippertak er greit, men må komme i tillegg). De elevene som har gode arbeidsvaner, relativt god orden i oppgavejobbing (og føring) ser ut til å ha en fordel her. I tillegg til å lære seg matematikk, tror jeg elever tjener på å lære seg å bli gode til å lære seg matematikk. Og dette krevet en viss struktur.

Jeg tror derfor det er hensiktsmessig å fokusere på hvordan elevene jobber. For eksempel hvordan elevene løser og fører oppgaver, hvordan de fører notater og hvordan de bearbeider stoffet over tid. I tillegg mener jeg at min føring på tavla, i prøver og løsningsforslag osv. må ha holde en slags eksemplarisk kvalitet elevene kan strekke seg etter.

Så hva kjennetegner god matematikkundervisning? Det som kjennetegner min undervisning er kanskje disse tre punktene: arbeidsmiljø, problemløsende atmosfære og en tydelig struktur. Og ja, jeg tror det gjør min undervisning bedre.

fredag 25. januar 2013

Mathjax


Orienteringsløpere gjør det i skogen, piloter gjør det i luften og matematikere gjør det som kjent i LaTeX. Iallefall de som vil at det skal se bra ut.

Nå har jeg funnet ut at denne måten å publisere matematikk på kan brukes rett i en nettside. Noe som gjør at jeg enkelt kan klistre opp en formel, la oss si denne: $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ helt uten å forlate redigeringsvinduet. Det ser jo slettes ikke så værst ut. Så langt jeg kan se, må dette være den optimale måten å få pen matematikknotasjon på en nettside.

Se hvordan det kan gjøres her www.mathjax.org.

onsdag 26. januar 2011

Induksjonsbevis

Nylig var det en som sa til meg at barn fra naturens side er matematiske. Derfor er det bare anstendig å introdusere barn for matematikk tidlig. En ting jeg iallefall har bitt meg merke i forhold til min egen forståelse av faget, er at jeg av og til kan knytte dypere konsepter til idéer jeg selv hadde som barn. Et eksempel er den uendelige sjokoladespisefølgen jeg har skrevet om tidligere, en annen er idéen om induksjonsbevis.

Vi skrur tiden tilbake til 1984 og ser på følgende problemstilling: Broren min, Robin, var på den tiden nøyaktig to år eldre enn meg. Det er ikke alltid like fordelaktig å være lillebror så derfor så jeg fram til at dette maktforholdet skulle utliknes. Desverre måtte jeg etterhvert ta inn over meg at uansett hvor mange år eldre jeg ble, ville det ikke hjelpe. Dette fordi
  1. Broren min er eldre enn meg idag (jeg var 5 og han 7)
  2. Blir jeg ett år eldre, har broren min også blitt ett år eldre så han er fremdeles eldst.
Konklusjon: Den som eldst idag, vil være eldst for alltid. Uansett hvor mange år som går.

Ikke så avansert kanskje, men dette ressonementet er analogt til det vi kaller prinsippet om matematisk induksjon, (induksjonsprinsippet). En påstand som omfatter et helt positivt tall (n) er sann for alle verdier om den oppfyller disse to kravene
  1. Påstanden er sann for én bestemt verdi (ofte n = 1 eller n = 0)
  2. Hvis påstanden er sann for én vilkårlig verdi (n = k) så er den også sann for neste (n = k+1)
Nå hører det med til historien at jeg har rukket å bli både sterkere og smartere enn broren min, men eldst det er han. Jeg tror neste innlegg må bli et skikkelig eksempel på et induksjonsbevis. Stay tuned...

mandag 24. januar 2011

Den harmoniske rekka

I R2 er konvergens/divergens av geometriske rekker pensum. Siden vi lærer å skille divergente fra konvergente rekker ved å se om kvotienten har absoluttverdi mindre enn én, får vi en situasjon der alle rekker med egenskapen at an går mot 0 er konvergente. Det er lett å la seg overbevise om at det er nødvendig at an -> 0 for at rekka skal konvergere, men er det et tilstrekkelig krav?

Eller sagt annerledes er det nok å se at leddene i rekka nærmer seg null for at rekka skal konvergere? Dette spørsmålet svares det ikke på i R2-pensum. Svaret er for øvrig nei, og her er er et forholdsvis tilgjengelig bevis ved hjelp av et moteksempel.

Vi definerer rekka

tex:[[%0D%0A1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D...]]

vi ser at hvert enkelt ledd blir mindre og mindre, altså at
an -> 0. Så er spørsmålet: Kan vi få denne summen så stor vi vil, eller vil summen nærme seg et endelig tall når vi tar med (uendelig) mange ledd?

Vi kan vise at vi kan få summen over så stor vi bare vil ved følgende argument:

tex:[[a_3%2Ba_4%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%3E2%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D]]
(summen av tredje og fjerde ledd er større enn 1/2)

tex:[[a_5%2Ba_6%2Ba_7%2Ba_8%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%3E4%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D]]
(summen av femte til åttende ledd er større enn 1/2)

tex:[[a_9%2Ba_%7B10%7D%2B...%2Ba_%7B15%7D%2Ba_%7B16%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B10%7D%2B...%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B15%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D%3E8%5Ccdot%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D]]
(summen av niende til sekstene ledd er større enn 1/2)

Fortsetter vi denne prosessen ved å stadig ta med dobbelt så mange ledd, ser vi at

tex:[[1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%28%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%29%2B%28%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%29%2B%28%5Cfrac%7B1%7D%7B9%7D%2B...%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D%29...%3E1%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D...]]

Tar vi med nok ledd ser vi at høyresida i ulikheten kan bli så stor som helst. Siden vår rekke er større, kan denne også bli så stor vi bare vil. Dermed kan vi slå fast at rekka, som gjerne kalles den harmoniske rekka, divergerer.


tirsdag 11. januar 2011

Min favorittfølge

Fredag satte jeg igang med undervisning i matematikk R2. Tema var kapitell 6 om følger og rekker, og da jeg skulle finne noen gode eksempler, penset tankene fort til et lite filosofisk spørsmål jeg stilte meg som liten gutt.
Hvis du har en sjokolade, og alltid bare spiser halvparten av det som er igjen, varer ikke da sjokoladen evig?
Spørsmålet var interessant fordi 1) jeg var ekstremt glad godteri som liten og 2) det var som regel mindre sjokolade å oppdrive enn det som strengt tatt var ønskelig å spise. Jeg forsto jo at i praksis ville det bli svært små sjokoladebiter som var igjen, men i teorien var det jo mulig å tenke slik.

Hvis vi skal formalisere eksempelet med matematisk notasjon kunne vi jo la en hel sjokolade tilsvare tallet 1, slik at vi ser for oss at jeg først spiste en halv, så halvparten av en halv (1/4), så halvparten av en fjerddel (1/8) og så videre. Da får vi rekken

tex:[[%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D...]]

Da jeg studerte matematikk på høgskolen (jeg tok ikke matte på vgs) så jeg mitt lille spørsmål formalisert som en geometrisk rekke med a1 = k = 1/2. Og som antatt, den kovergerer mot 1. Det vil si: Holder vi på slik uendelig lenge har vi spist hele sjokoladen, altså 1 sjokolade (logisk nok).

Men tilbake til eksempelet jeg skulle bruke i R2. Delsummene av rekka over danner denne følga:

tex:[[%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%2C%5Cfrac%7B7%7D%7B8%7D%2C%5Cfrac%7B15%7D%7B16%7D...]]

og det er dette som er min favorittfølge. Denne følga beskriver sjokoladespiseprossesen, der hvert tall representerer "hvor mye jeg har spist", men legg spesielt merke til det fine mønsteret der tellern er summen av både tellern og nevnern i det foregående leddet.

Her er det jo bare å sette elevene igang, med å finne den eksplisitte formelen:

tex:[[%24a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7B2%5E%7Bn%7D-1%7D%7B2%5E%7Bn%7D%7D%24%0D%0A]]

(ser du hvorfor?). Til slutt kan vi se at vi også kan finne en rekursiv formel der

tex:[[%24a_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%24]] og tex:[[%24a_%7Bi%7D%3D%5Cfrac%7Ba_%7Bi-1%7D%2B1%7D%7B2%7D%24]]



søndag 9. januar 2011

Et nyttig lite verktøy...

Når jeg skal skrive matematiske uttrykk inn i nettsideskjemaer (slik som det jeg sitter og skriver i akkurat nå), er det alltid en utfordring å få disse til å se bra ut når det skal publiseres. La oss si jeg har lyst til å skrive litt om den interessante tallfølgen:

1/2, 3/4, 7/8, 15/16...

Med programmet Enso TeX anywhere kan jeg trylle TeX-kode til pene små bilder. Som ved et trylleslag kan jeg få
\[\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},\frac{15}{16}...\]
til å se ut som
tex:[[%5C%5B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%2C%5Cfrac%7B7%7D%7B8%7D%2C%5Cfrac%7B15%7D%7B16%7D...%5C%5D]]