Den harmoniske rekka

I R2 er konvergens/divergens av geometriske rekker pensum. Siden vi lærer å skille divergente fra konvergente rekker ved å se om kvotienten har absoluttverdi mindre enn én, får vi en situasjon der alle rekker med egenskapen at an går mot 0 er konvergente. Det er lett å la seg overbevise om at det er nødvendig at an -> 0 for at rekka skal konvergere, men er det et tilstrekkelig krav?

Eller sagt annerledes er det nok å se at leddene i rekka nærmer seg null for at rekka skal konvergere? Dette spørsmålet svares det ikke på i R2-pensum. Svaret er for øvrig nei, og her er er et forholdsvis tilgjengelig bevis ved hjelp av et moteksempel.

Vi definerer rekka

vi ser at hvert enkelt ledd blir mindre og mindre, altså at an -> 0. Så er spørsmålet: Kan vi få denne summen så stor vi vil, eller vil summen nærme seg et endelig tall når vi tar med (uendelig) mange ledd?

Vi kan vise at vi kan få summen over så stor vi bare vil ved følgende argument:


(summen av tredje og fjerde ledd er større enn 1/2)


(summen av femte til åttende ledd er større enn 1/2)


(summen av niende til sekstene ledd er større enn 1/2)

Fortsetter vi denne prosessen ved å stadig ta med dobbelt så mange ledd, ser vi at

Tar vi med nok ledd ser vi at høyresida i ulikheten kan bli så stor som helst. Siden vår rekke er større, kan denne også bli så stor vi bare vil. Dermed kan vi slå fast at rekka, som gjerne kalles den harmoniske rekka, divergerer.