Induksjonsbevis

Nylig var det en som sa til meg at barn fra naturens side er matematiske. Derfor er det bare anstendig å introdusere barn for matematikk tidlig. En ting jeg iallefall har bitt meg merke i forhold til min egen forståelse av faget, er at jeg av og til kan knytte dypere konsepter til idéer jeg selv hadde som barn. Et eksempel er den uendelige sjokoladespisefølgen jeg har skrevet om tidligere, en annen er idéen om induksjonsbevis.

Vi skrur tiden tilbake til 1984 og ser på følgende problemstilling: Broren min, Robin, var på den tiden nøyaktig to år eldre enn meg. Det er ikke alltid like fordelaktig å være lillebror så derfor så jeg fram til at dette maktforholdet skulle utliknes. Desverre måtte jeg etterhvert ta inn over meg at uansett hvor mange år eldre jeg ble, ville det ikke hjelpe. Dette fordi

1. Broren min er eldre enn meg idag (jeg var 5 og han 7)
2. Blir jeg ett år eldre, har broren min også blitt ett år eldre så han er fremdeles eldst.
   

Konklusjon: Den som eldst idag, vil være eldst for alltid. Uansett hvor mange år som går.

Ikke så avansert kanskje, men dette ressonementet er analogt til det vi kaller prinsippet om matematisk induksjon, (induksjonsprinsippet). En påstand som omfatter et helt positivt tall (n) er sann for alle verdier om den oppfyller disse to kravene

1. Påstanden er sann for én bestemt verdi (ofte n = 1 eller n = 0)
2. Hvis påstanden er sann for én vilkårlig verdi (n = k) så er den også sann for neste (n = k+1)
   

Nå hører det med til historien at jeg har rukket å bli både sterkere og smartere enn broren min, men eldst det er han. Jeg tror neste innlegg må bli et skikkelig eksempel på et induksjonsbevis. Stay tuned...

Den harmoniske rekka

I R2 er konvergens/divergens av geometriske rekker pensum. Siden vi lærer å skille divergente fra konvergente rekker ved å se om kvotienten har absoluttverdi mindre enn én, får vi en situasjon der alle rekker med egenskapen at an går mot 0 er konvergente. Det er lett å la seg overbevise om at det er nødvendig at an -> 0 for at rekka skal konvergere, men er det et tilstrekkelig krav?

Eller sagt annerledes er det nok å se at leddene i rekka nærmer seg null for at rekka skal konvergere? Dette spørsmålet svares det ikke på i R2-pensum. Svaret er for øvrig nei, og her er er et forholdsvis tilgjengelig bevis ved hjelp av et moteksempel.

Vi definerer rekka

vi ser at hvert enkelt ledd blir mindre og mindre, altså at an -> 0. Så er spørsmålet: Kan vi få denne summen så stor vi vil, eller vil summen nærme seg et endelig tall når vi tar med (uendelig) mange ledd?

Vi kan vise at vi kan få summen over så stor vi bare vil ved følgende argument:


(summen av tredje og fjerde ledd er større enn 1/2)


(summen av femte til åttende ledd er større enn 1/2)


(summen av niende til sekstene ledd er større enn 1/2)

Fortsetter vi denne prosessen ved å stadig ta med dobbelt så mange ledd, ser vi at

Tar vi med nok ledd ser vi at høyresida i ulikheten kan bli så stor som helst. Siden vår rekke er større, kan denne også bli så stor vi bare vil. Dermed kan vi slå fast at rekka, som gjerne kalles den harmoniske rekka, divergerer.

Min favorittfølge

Fredag satte jeg igang med undervisning i matematikk R2. Tema var kapitell 6 om følger og rekker, og da jeg skulle finne noen gode eksempler, penset tankene fort til et lite filosofisk spørsmål jeg stilte meg som liten gutt.

Hvis du har en sjokolade, og alltid bare spiser halvparten av det som er igjen, varer ikke da sjokoladen evig?

Spørsmålet var interessant fordi 1) jeg var ekstremt glad godteri som liten og 2) det var som regel mindre sjokolade å oppdrive enn det som strengt tatt var ønskelig å spise. Jeg forsto jo at i praksis ville det bli svært små sjokoladebiter som var igjen, men i teorien var det jo mulig å tenke slik.

Hvis vi skal formalisere eksempelet med matematisk notasjon kunne vi jo la en hel sjokolade tilsvare tallet 1, slik at vi ser for oss at jeg først spiste en halv, så halvparten av en halv (1/4), så halvparten av en fjerddel (1/8) og så videre. Da får vi rekken

Da jeg studerte matematikk på høgskolen (jeg tok ikke matte på vgs) så jeg mitt lille spørsmål formalisert som en geometrisk rekke med a1 = k = 1/2. Og som antatt, den kovergerer mot 1. Det vil si: Holder vi på slik uendelig lenge har vi spist hele sjokoladen, altså 1 sjokolade (logisk nok).

Men tilbake til eksempelet jeg skulle bruke i R2. Delsummene av rekka over danner denne følga:

og det er dette som er min favorittfølge. Denne følga beskriver sjokoladespiseprossesen, der hvert tall representerer "hvor mye jeg har spist", men legg spesielt merke til det fine mønsteret der tellern er summen av både tellern og nevnern i det foregående leddet.

Her er det jo bare å sette elevene igang, med å finne den eksplisitte formelen:

(ser du hvorfor?). Til slutt kan vi se at vi også kan finne en rekursiv formel der

og

Et nyttig lite verktøy...

Når jeg skal skrive matematiske uttrykk inn i nettsideskjemaer (slik som det jeg sitter og skriver i akkurat nå), er det alltid en utfordring å få disse til å se bra ut når det skal publiseres. La oss si jeg har lyst til å skrive litt om den interessante tallfølgen:

1/2, 3/4, 7/8, 15/16...

Med programmet Enso TeX anywhere kan jeg trylle TeX-kode til pene små bilder. Som ved et trylleslag kan jeg få

\[\frac{1}{2},\frac{3}{4},\frac{7}{8},\frac{15}{16}...\]

til å se ut som

Bokprosjekt underveis

Nå er det klart at jeg skal undervise GLSM (Grunnleggende lese-, skrive- og matematikkopplæring) studieåret 2011/12. Alt i alt blir det fjerde året jeg underviser matematikkdelen av dette kurset som utdanner lærere for småskoletrinnet.

Mens det finnes mye relevant litteratur i matematikkdidaktikk, har det har vært en utfordring å finne et egnet matematikkfaglig pensum til dette kurset. Kurset skal sikre studentene gode fagkunnskaper i matematikk og da trengs det en lærebok med teori, eksempler og oppgaver. Problemet er at læreverk skrevet for den ordinære lærerutdanningen ikke er like egnet for GLSM-studentenen, noe evaluaringen av fjorårets kurs bekrefter.

Derfor har jeg tatt skjeen i egen hånd og er godt i gang med arbeidet å skrive en egen lærebok som skal dekke det matematikkfaglige behovet for et GLSM-kurs med 10-15 sp. matematikk. Resultatet forligger nok i siste liten til oppstart høsten 2011.

Analyseseminar på SVGS

Nå begynner det å bli noen år siden jeg var matematikkstudent. Som lærer opplever jeg at noen kunnskaper styrkes av å undervise matematikk hver dag, mens andre kunnskaper fort går i glemmeboka. Fra dag til dag blir fokuset naturlig nok de emnene som er en del av pensum, og de kollegiale diskusjonene handler oftere om didaktiske eller it-relaterte spørsmål enn om det rent matematikkfaglige.

Jeg er overbevist om at man blir en bedre matematikklærer av å selv studere faget videre. Det holder en skjerpet og oppdatert, og gir anledning til "å løfte blikket" mot dypere problemstillinger mange av elevene våre vil møte i senere studier.

Da er det gledelig at vi nå har startet et felles utviklingsarbeid der vi fresher opp kunnskapene i sentrale matematikkfaglige emner. Premissen er at vi jobber på et høyere matematikkfaglig nivå enn det vi underviser til daglig. For noen fungerer det nok som oppfriskning, for andre er det en anledning til å lære noe nytt. Et knippe av matematikklærerene på Sandnes møtes nå foran en tavle én gang i uka, og diskuterer. Forhåpentligvis vil dette gjøre oss til en enda bedre matematikkseksjon i årene som kommer.

(Heftet vi jobber med akkurat nå er "Begreper i analyse" skrevet av Professor Olav Nygaard, UiA.)

Ikke godta lærerløse timer!

Hvis læreren er forhindret fra å møte til undervisningen må en annen kvalifisert person tre inn for å gjøre den fraværende lærerens jobb. Ellers kan ikke skolen påstå at det har blitt holdt noen undervisning.

Desverre er mitt inntrykk er at det blir stadig mer utbredt å ikke sette inn vikar når læreren er borte. Det hersker en holdning i videregående skole om at undervisning kan finne sted uten at det er noen lærer tilstede. Samtidig som det føres nøye regning med at elever får det timetallet de har krav på i fagene, er det en utbredt aksept for lærerløse timer framfor å sette inn vikar.

På kort sikt sparer skolene/skoleeier penger på å holde nede vikarbruken. I praksis fører dette til at skoledrift framstår som mindre kostnadskrevende enn det i realiteten er.

Det er brukerne, altså elevene, som blir ført bak lyset. Mitt råd er som følger: Ikke godta lærerløse timer.